Nombre de diviseurs

Propriété

Tout entier  \(a\) non nul a un nombre fini de diviseurs.
Autrement dit, pour tout \(a \in \mathbb{Z} \setminus \left\lbrace 0 \right\rbrace\) , l’ensemble \(\mathscr{D}(a)\) est fini.
Plus précisément : \(\mathscr{D}(a) \subset [-a \ ; a]\) et  \(a\) possède au maximum  \(2a\) diviseurs.

Démonstration

Soit \(a \in \mathbb{N} \setminus \left\lbrace 0 \right\rbrace\) . Soit \(d \in \mathscr{D}(a)\) un diviseur de \(a\) . Il existe \(k \in \mathbb{Z}\) tel que \(a=kd\) . Comme \(a \neq 0\) , on sait que \(d \neq 0\) et \(k \neq 0\) .

• Cas où  \(d>0\)  :
  Comme \(a=kd>0\) , on a aussi \(k>0\) (en fait, \(k \geqslant 1\) ).
  On a alors :  \(k \geqslant 1 \ \ \Longleftrightarrow \ \ kd \geqslant d \ \ \Longleftrightarrow \ \ a \geqslant d\)  
  car \(d>0\) . Ainsi, \(d \leqslant a\) .
  
• Cas où  \(d<0\)  :
  Comme \(a=kd>0\) , on a aussi \(k<0\) (en fait, \(k \leqslant -1\) ).
  On a alors :  \(k \leqslant -1 \ \ \Longleftrightarrow \ \ kd \geqslant -d \ \ \Longleftrightarrow \ \ a \geqslant -d \ \ \Longleftrightarrow \ \ -a \leqslant d\)
  car \(d<0\) . Ainsi, \(d \geqslant -a\) .
  

On a donc \(-a \leqslant d \leqslant a\) , et donc \(\mathscr{D}(a) \subset [-a \ ; a]\) .
L’intervalle \([-a \ ; a]\) contient \(2a+1\) entiers, mais \(0\) n’est pas un diviseur de \(a\) , donc il y a seulement  \(2a\) potentiels diviseurs de \(a\) dans cet intervalle.
Enfin, si \(a \in \mathbb{Z} \setminus \left\lbrace 0 \right\rbrace\) est négatif, alors \(\mathscr{D}(a)=\mathscr{D}(-a)\) avec \(-a \in \mathbb{N} \setminus \left\lbrace 0 \right\rbrace\) , donc \(\mathscr{D}(a) \subset [-a \ ; a]\) .